VARIATIONS (CALCUL DES)

VARIATIONS (CALCUL DES)

L’étude d’une fonction à valeurs réelles comporte en particulier la détermination de ses extrémums. C’est là un des objets du calcul différentiel classique lorsque la source de cette fonction est un espace numérique; c’est l’objet de ce qu’Euler a appelé le calcul des variations lorsque cette source est un espace fonctionnel.

On rencontre déjà dans la plus haute antiquité des problèmes d’une telle nature. La légende ne veut-elle pas que Didon, lorsqu’elle fonda Carthage, ait délimité la plus grande étendue qu’elle pût circonscrire à l’aide de lanières découpées dans la peau d’un taureau? Et il est bien connu que les Grecs caractérisaient un segment de droite comme la ligne de plus petite longueur joignant ses extrémités.

Ce n’est cependant qu’au XVIII^e siècle, à la suite de l’essor du calcul infinitésimal, qu’Euler et Lagrange établirent les fondements du calcul des variations et donnèrent une première condition d’extrémum. Cette équation d’Euler-Lagrange allait jouer un rôle très important, surtout en physique, où elle justifiait les principes variationnels: principe de Fermat pour la propagation de la lumière dans les milieux différemment réfringents; principes de moindre action de Maupertuis et Hamilton pour la détermination des mouvements en mécanique analytique.

La recherche de conditions d’extrémum se poursuivit aux XVIII^e et XIX^e siècles, notamment avec les travaux de Legendre, Jacobi et Weierstrass, pour aboutir au début du XX^e siècle à une théorie bien élaborée que l’on situe aujourd’hui dans le cadre du calcul différentiel au sens de Fréchet dans les espaces de Banach . Mais de difficiles problèmes relatifs à l’existence de ces extrémums restent encore ouverts.

Plus récemment, les travaux de Morse relancèrent l’intérêt porté au calcul des variations. Utilisant à la fois des techniques d’analyse fonctionnelle, de topologie algébrique et de topologie différentielle, ils sont à l’origine de ce qu’on appelle maintenant l’analyse différentielle globale, une des théories carrefours de la mathématique actuelle.

Il faut enfin mentionner le contrôle optimal, terminologie d’origine anglo-saxonne fréquemment remplacée par «commande optimale». Par ses problèmes d’optimisation de fonctionnelles sur des espaces de solutions d’équations différentielles avec paramètres de contrôle, il s’intègre en effet au calcul de variations. Mais la recherche de solutions qui peuvent être discontinues y conduit au développement de techniques fort différentes; on n’en parlera pas ici.

Quelques problèmes classiques

La brachistochrone

On considère dans le champ de la pesanteur deux points A et B et un point matériel M se déplaçant sans frottement sur une courbe d’extrémités A et B. Déterminer la courbe, appelée brachistochrone, pour laquelle le temps de parcours est minimal lorsque le point M part du point A avec une vitesse nulle.

Ce problème, dont la solution est en général un arc de cycloïde, avait déjà été considéré par Galilée, qui avait remarqué que ce minimum n’était pas réalisé par le segment de droite. Résolu en 1697, en particulier par Jean Bernoulli, Jacques Bernoulli et Newton, il allait attirer l’attention des mathématiciens de l’époque sur les problèmes variationnels.

En admettant que sa solution soit une courbe plane ayant une équation de la forme y = f (x ), on peut en donner la formulation analytique suivante: Déterminer la fonction continûment dérivable y = f (x ) vérifiant les conditions f (x ⁰) = y ⁰ et f (x ¹) = y ¹ qui minimise l’intégrale:

La surface minimale de révolution

Étant donné dans un plan 刺 un axe et deux points A et B situés d’un même côté de , déterminer la courbe du plan 刺, d’extrémités A et B, engendrant par révolution autour de une surface dont l’aire est minimale. Sous des hypothèses analogues à celles qui ont été faites précédemment, on est ici amené à minimiser l’intégrale:

La solution est en général un arc de chaînette:

où ch désigne le cosinus hyperbolique.

Les géodésiques

Étant donné une surface S dans R³ et deux points A et B de S, déterminer les courbes tracées sur S d’extrémités A et B et de longueur minimale.

De ce point de vue, le problème de la distance d’un point à une courbe suggère, d’ailleurs, la généralisation des exemples précédents à la considération de courbes dont les extrémités sont non pas fixées mais mobiles sur deux courbes données (problèmes variationnels à extrémités variables).

Le problème isopérimétrique

Déterminer parmi les courbes planes fermées sans point double de longueur donnée celle dont l’intérieur a la plus grande surface: c’est le problème de Didon.

Ce problème, dont la solution est le cercle, est un problème d’extrémum lié. Il fut résolu par Jacques Bernoulli en 1697 et joua également un rôle important dans l’essor du calcul des variations.

Le problème de Plateau

Les quatre exemples précédents concernent des espaces de courbes: on dit que ce sont des problèmes variationnels de dimension 1. On peut bien évidemment concevoir des problèmes de dimensions supérieures. Le plus célèbre d’entre eux est celui du physicien belge J. Plateau: Étant donné dans l’espace une courbe fermée sans point double, déterminer une surface d’aire minimale ayant cette courbe pour bord. Ce problème est essentiel dans l’étude des lames minces liquides.

Présentation analytique d’un problème variationnel

À la lumière des exemples qui viennent d’être présentés, on peut donner la formulation suivante d’un problème variationnel simple de dimension 1 à extrémités fixes.

Soit 阮 l’espace affine des fonctions f à valeurs réelles continûment dérivables sur l’intervalle [a , b ] et vérifiant f (a ) = 見 et f (b ) = 廓. L’espace vectoriel 劉 associé à cet espace affine peut s’interpréter comme l’espace des fonctions 諸 continûment dérivables sur [a , b ] et vérifiant 諸(a ) = 諸(b ) = 0.

On munit l’espace 阮 des deux topologies face=F9796 C⁰ et face=F9796 C¹ définies respectivement par les normes de la convergence uniforme:

La topologie face=F9796 C¹ est plus fine que la topologie face=F9796 C⁰.

Soit F(x , y , y ) une fonction à valeurs réelles deux fois continûment différentiable sur l’espace [a , b ] 憐 R 憐 R. On peut lui associer la fonctionnelle J sur 阮 déterminée par:

On dit alors qu’une fonction f de 阮 est une solution du problème variationnel correspondant à la fonction F si elle est un minimum de J sur 阮, c’est-à-dire si l’on a J(f ) 諒 J(g ) pour tout g 捻 阮. On dit également que f est un minimum relatif faible (resp. fort) de J s’il existe 﨎 礪 0 tel que l’on ait J(f ) 諒 J(g ) pour tout g 捻 阮 vérifiant 瑩f 漣 g 瑩¹ 諒 﨎 (resp. 瑩f 漣 g 瑩 諒 﨎).

Naturellement un minimum au sens fort est également un minimum au sens faible. Mais cette distinction se trouve justifiée par le fait que la fonction J, qui est continue pour la topologie face=F9796 C¹, ne l’est pas en général pour la topologie face=F9796 C⁰.

On peut maintenant, avec J. L. Lagrange, considérer un élément 諸 de 劉 comme une «variation» de la fonction f de 阮 en introduisant la fonction g = f + 諸. La formule de Taylor permet alors d’écrire, à des termes d’ordres supérieurs près (pour la norme 瑩. 瑩¹), la variation J(g ) 漣 J(f ) sous la forme:

On peut donc dire que la fonctionnelle:

est la dérivée de la fonction J au point f lorsqu’on munit l’espace 阮 de la topologie face=F9796 C¹. Avec Lagrange, on notera cette dérivée 嗀J[f ] et l’on dira qu’elle est la «variation première» de J en f .

On a ainsi démontré qu’une condition nécessaire pour que f soit un minimum relatif faible (et a fortiori fort) de J est que l’on ait 嗀J[f ] = 0.

Équation d’Euler-Lagrange

Si l’on suppose que f est un minimum relatif faible de J deux fois continûment dérivable, on peut transformer l’expression de 嗀J[f ] en intégrant par partie le second terme. On obtient ainsi:

Ce qui conduit à l’équation donnée par Euler en 1744:

Théorème 1 . Une condition nécessaire pour qu’une fonction f deux fois continûment dérivable soit un minimum relatif faible de J est qu’elle vérifie l’équation:

Ce résultat est une conséquence immédiate du lemme suivant:

Lemme 1 . Soit h une fonction continue sur [a , b ]. Si l’on a:

pour toute fonction 﨎 continûment dérivable sur [a , b ] et vérifiant 﨎(a ) = 﨎(b ) = 0, on a h = 0 sur [a , b ].

Démonstration du lemme 1 . Supposons que la fonction h soit, par exemple, positive en un point x ⁰ de ]a , b [. On peut alors trouver un intervalle [c , d ] contenant x ⁰ sur lequel h est positive.

Si l’on désigne par 﨎 la fonction égale à (x 漣 c )² (d 漣 x )² sur [c , d ] et nulle en dehors de [c , d ], on a dans ces conditions:

qui est en contradiction avec les hypothèses; par conséquent h est nulle sur [a , b ]. La démonstration est terminée.

L’équation d’Euler-Lagrange peut s’écrire:

c’est une équation différentielle du second ordre et sa solution dépend de deux constantes arbitraires, qui sont en général déterminées par les conditions limites en a et en b . Cette situation diffère donc du problème classique de Cauchy, qui consiste à déterminer une solution d’une équation différentielle du second ordre par sa valeur et celle de sa dérivée en un point.

Exemple 1 . Lorsque la fonction F est indépendante de x , l’équation d’Euler-Lagrange admet l’intégrale première F 漣 y F ^y size=1 = C ^te .

On en déduit par exemple que, pour le problème de la surface minimale de révolution, ses solutions sont, dans les bons cas, les chaînettes:

Remarque 1 . On a supposé ici que le minimum f était deux fois continûment dérivable. En fait, une étude plus fine, due à P. Du Bois-Reymond, permet de montrer que, si f est une fois continûment dérivable, la fonction F ^y size=1(x , f (x ), f (x )) est dérivable et que sa dérivée est égale à F ^y (x , f (x ), f (x )); autrement dit, f satisfait encore l’équation d’Euler-Lagrange.

On peut de plus vérifier qu’elle est alors deux fois dérivable en tout point où l’on a F ^y size=1^y size=1(x , f (x ), f (x )) 0. Ainsi l’hypothèse de départ n’était pas trop restrictive.

Remarque 2 . Certains problèmes variationnels, par exemple celui qui correspond à la fonction F = y ²(1 漣 y )², n’ont pas de solutions dans l’espace 阮. On est ainsi amené à élargir cet espace en l’espace 阮 des fonctions f continues et continûment dérivables par morceaux sur [a , b ], c’est-à-dire que f est continue sur [a , b ] et qu’il existe une suite a ⁰ = a 麗 a ¹ 麗 ... 麗 a ⁿ = b telle que f soit continûment dérivable sur chacun des intervalles [a ⁱ , a ^{i +1}].

On peut encore montrer qu’un minimum relatif f de J dans 阮 satisfait l’équation d’Euler-Lagrange sur chacun des intervalles où elle est continûment dérivable (c’est une conséquence immédiate de la formule de Chasles pour les intégrales) et vérifie de plus les conditions suivantes, dues à K. Weierstrass et à G. Erdmann: en chaque point de [a , b ] les limites à gauche et à droite de:

ainsi que celles de:

sont égales.

En utilisant le théorème de Rolle, on déduit de cette première condition qu’en un point de discontinuité c de f la fonction F ^y size=1^y size=1(c , f (c ), y ) à un zéro. Par conséquent, si F ^y size=1^y size=1(x , y , y ) est sans zéro, tout minimum de J dans 阮 est deux fois continûment dérivable.

Conditions de Legendre et Jacobi

Soit f un minimum relatif faible de J dans 阮. Utilisant à nouveau la formule de Taylor, on peut écrire, toujours à des termes d’ordres supérieurs près, la variation de J correspondant à une variation 諸 de f sous la forme:

où l’on a posé:

La fonctionnelle:

est une forme quadratique sur l’espace 劉 que l’on peut interpréter comme la dérivée seconde 嗀²J[f ] de J en f : on dira que 嗀²J[f ] est la «variation seconde» de J en f . On a ainsi le résultat suivant: Une condition nécessaire pour que f soit un minimum relatif faible de J est que 嗀²J[f ] soit une forme quadratique positive, c’est-à-dire telle que 嗀²J[f ] ( 諸) 閭 0 pour tout 諸 捻 劉.

On va, suivant Legendre, transformer l’expression de cette variation seconde en remarquant que, si w est une fonction continûment dérivable sur [a , b ], on a:

pour toute fonction 諸 捻 劉. On peut donc écrire:

soit encore:

si le discriminant (Q + w )² 漣 R(P + w ) est nul. Cette égalité nous conduit à une seconde condition, énoncée par Legendre en 1786:

Théorème 2 . Une condition nécessaire pour que f soit un minimum relatif faible de J est que l’on ait sur [a , b ] l’inégalité:

Démonstration . Supposons R négative en un point x ⁰ de ]a , b [. On peut trouver un intervalle [c , d ] contenant x ⁰ sur lequel R reste négative. On peut supposer qu’il existe une solution de l’équation différentielle (Q + w )² 漣 R(P + w ) = 0 sur cet intervalle.

On a alors l’inégalité 嗀²J[f ]( 諸) 麗 0 pour la fonction 諸 qui intervient dans la preuve du lemme 1, ce qui est absurde.

L’expression précédente de 嗀²J[f ] montre que, si l’équation:

a une solution sur [a , b ], la condition R 礪 0 entraîne 嗀²J[f ]( 諸) 礪 0 pour toute variation 諸 non nulle. C’est en partant de cette remarque que Weierstrass montra, en 1879, que les conditions suivantes sont suffisantes pour qu’une fonction f de 阮 soit un minimum relatif faible de J:

a ) La fonction f est une solution de l’équation d’Euler-Lagrange;

b ) On a F ^y size=1^y size=1(x , f (x ), f (x )) 礪 0 sur [a , b ];

c ) Il existe une solution sur [a , b ] de l’équation (Q + w )² 漣 R(P + w ) = 0.

Jacobi introduisit en 1837 le changement de variable w = 漣 Q 漣 Ru /u qui lui permit de transformer l’équation différentielle (Q + w )² 漣 R(P + w ) = 0 en l’équation différentielle linéaire du second ordre, dite équation de Jacobi :

et l’existence d’une solution de la première sur [a , b ] est équivalente à l’existence d’une solution sans zéro sur [a , b ] de la seconde.

Soit alors u (x ) une solution non nulle de l’équation de Jacobi telle que u (a ) = 0. On dira qu’un point c 閭 a est un point conjugué de a si l’on a u (c ) = 0. Le théorème de Sturm permet de montrer que, si l’intervalle [a , b ] ne contient aucun point conjugué de a , il existe une solution de l’équation de Jacobi sans zéro sur cet intervalle, donc une solution du discriminant sur [a , b ] (cf. supra ).

En 1877, Weierstrass donna la condition suivante, appelée condition de Jacobi:

Théorème 3 . Une condition nécessaire pour qu’une fonction f de 阮 vérifiant F ^y size=1^y size=1(x , f (x ), f (x )) 礪 0 sur [a , b ] soit un minimum relatif faible de J est que l’intervalle [a , b ] ne contienne aucun point conjugué du point a .

On remarquera que, contrairement aux théorèmes 1 et 2 qui expriment des conditions locales, la condition de Jacobi est globale.

Remarque 3 . Dans son important mémoire de 1837, Jacobi mit aussi en évidence la propriété importante suivante de l’équation qui porte son nom:

Soit f (x ,) une famille différentiable à un paramètre de solutions de l’équation d’Euler-Lagrange telle que f (x , 0) = f (x ). Alors la fonction u (x ) = f size=1^凞(x , 0) est une solution de l’équation de Jacobi; autrement dit, l’équation de Jacobi correspondant à la fonction f est l’«équation aux variations» de l’équation d’Euler-Lagrange pour sa solution f .

Remarque 4 . Les conditions données dans les théorèmes 1, 2 et 3 concernent un minimum relatif faible. En 1879, Weierstrass donna la condition nécessaire suivante pour un minimum relatif fort, obtenue en exprimant que la valeur de J sur l’arc AB doit être inférieure à la somme des valeurs de J sur les arcs AC et CB (cf. figure). L’expression:

doit être positive pour tout y et tout x dans [a , b ]; cette condition est en particulier vérifiée si l’on a:

pour tout y et tout x dans [a , b ].

Il montra également que les conditions suivantes sont suffisantes pour qu’une fonction f de 阮 soit un minimum relatif fort de J:

a ) La fonction f est solution de l’équation d’Euler-Lagrange;

b ) On a l’inégalité F ^y size=1^y size=1(x , y , y ) 礪 0 pour tout y et pour tout couple (x , y ) dans un voisinage du graphe de f ;

c ) L’intervalle [a , b ] ne contient aucun point conjugué du point a .

Théorie de Morse

Dans son aspect classique, la théorie de Morse ne fait pas partie du calcul des variations. Elle concerne en fait l’étude des fonctions différentiables sur les variétés et permet, en particulier, de donner des décompositions des variétés jouant en topologie différentielle le rôle que jouent les décompositions simpliciales en topologie combinatoire (cf. TOPOLOGIE - Topologie algébrique, chap. 2). C’est en utilisant cette technique que S. Smale démontra, en 1962, la conjecture de Poincaré en dimensions supérieures à 5.

Si f est une fonction différentiable à valeurs réelles sur une variété M, on dit qu’un point z de M est un point critique de f s’il annule sa différentielle df , ce qui s’exprime, dans un système de coordonnées locales x ¹, ..., x ⁿ tel que x ⁱ (z ) = 0, par les conditions:

Ce point critique est non dégénéré si le hessien H(f ) de f en z , c’est-à-dire la forme quadratique définie par la matrice:

est de rang maximum. L’index de z est alors le nombre de valeurs propres négatives du hessien.

Le lemme de Morse assure que, si z est un point critique non dégénéré d’index p , il existe un système de coordonnées locales y ¹, ..., y ⁿ avec y ⁱ (z ) = 0 tel que l’on ait:

ce qui montre en particulier que les points critiques non dégénérés sont isolés. On peut déduire de cette expression que, si a et b ne sont pas des valeurs critiques de f , et si l’intervalle ]a , b [ contient une seule valeur critique, correspondant à un seul point critique z , non dégénéré, on obtient la sous-variété M^b = f ^-1 (] 漣 秊, b ]) en recollant à la sous-variété M^a = f ^-1 (] 漣 秊, a ]) une «anse» D^p 憐 D^{n -p} d’indice p , où p est l’index de z , au moyen d’une application différentiable de S^{p -1} 憐 D^{n -p} dans le bord de M^a . La variété M^b a donc le type d’homotopie de l’espace obtenu en recollant à M^a une cellule de dimension p . On en déduit par exemple que le q -ième nombre de Betti de M est inférieur au nombre de points critiques d’index q de f .

L’originalité de Morse fut alors de montrer, en 1934, que, sur une variété riemannienne M, on pouvait raisonner de façon analogue pour l’espace 行(M; p , q ) = 行 des courbes 暈 秊 par morceaux joignant p à q (qui est une variété banachique) et la fonction E : 行R définie par:

qui est différentiable sur 行.

On se trouve ici devant un problème variationnel pour lequel les solutions de l’équation d’Euler-Lagrange, qui sont les points critiques de E, sont les géodésiques 暈 秊 joignant p à q (cf. Remarques 1 et 2 ). Le hessien de E pour une géodésique 塚 est la variation seconde de E en 塚, et 塚 est un point critique non dégénéré de E si et seulement si cette variation seconde est une forme définie. On peut montrer qu’il en est ainsi si le point q n’est pas conjugué du point p (en un sens qui généralise directement celui du chapitre 5) le long de 塚.

Dans ces conditions, le plus grand sous-espace sur lequel le hessien est défini négatif est de dimension finie, et sa dimension est égale au nombre de points conjugués de p sur 塚 comptés avec leur ordre de multiplicité (puisque l’équation de Jacobi est dans ce cas une équation linéaire du second ordre et de dimension n , cette multiplicité est toujours inférieure à n ).

Le résultat central de la théorie de Morse assure alors que, si p et q ne sont conjugués le long d’aucune géodésique, l’espace 行 a le type d’homotopie d’un complexe simplicial (cf. TOPOLOGIE - Topologie algébrique, chap. 2) dénombrable ayant une cellule de dimension d pour chaque géodésique d’index d joignant p à q (en fait, ce type d’homotopie est un invariant topologique de la variété).

Par exemple, les géodésiques de la sphère euclidienne sont les arcs de grands cercles, et deux points sont conjugués si et seulement s’ils sont diamétralement opposés; la multiplicité pour le demi-grand cercle est alors n 漣 1. On en déduit que, si p et q ne sont pas diamétralement opposés, l’espace 行(Sⁿ ; p , q ) a le type d’homotopie d’un complexe simplicial ayant une cellule en dimensions 0, n 漣 1, 2(n 漣 1), 3(n 漣 1), ... Ce résultat, qui reste vrai pour toute variété riemannienne homéomorphe à Sⁿ , permet de montrer l’existence globale de géodésiques.

En 1957, R. Bott, appliquant ces méthodes aux groupes unitaire U(n , C) et orthogonal O(n , R), a montré, ce qui est un résultat fondamental pour la topologie moderne, la périodicité des groupes d’homotopie de ces espaces: par exemple, 神²ⁱ (U) = 0 et 神^{2i +1}(U) = Z pour le groupe unitaire

Encyclopédie Universelle. 2012.